기하학에서의 변분원리를 이용한 연구

Abstract

본 논문에서는 기하학에서의 다양한 변분문제에 관해 연구하였으며, 주요 연구결과는 다음과 같다. 먼저, g가 좌불변계량인 리만다양체 (M,g)=(SU(2),g)의 Ricci곡률과 관련된 몇 가지 결과들을 증명하였다. (M,g)상에서 Ricci곡률의 최댓값과 최솟값을 구하고, 다양체 (M,g)상의 Levi-Civita접속이 사영적 평탄이기 위한 필요충분조건과 Ricci곡률 r(X)가 단위벡터장 X의 선택과는 독립적으로 항상 양(또는 음)이 될 필요충분조건을 구하였다. 다음으로, Einstein다양체 B, N와 B상에서 정의된 양의 실함수 f에 대한 warped product manifold가 Einstein이 되기 위한 필요충분조건과, 주어진 Einstein warped product manifold가 weakly stable이 되기 위한 필요충분조건을 얻었다. 더욱이 warped product manifold의 항등사상 i가 조화사상이 되기 위한 필요충분조건을 구하고, i가 조화사상이라는 가정하에서 주어진 warped product manifold가 Einstein이기 위한 필요충분조건도 구하였다. 마지막으로, SU(2)상에 주어진 좌불변계량 g와 기저다양체 (SU(2),g)상의 tangent bundle에서 Weyl structure (D,g,w)를 갖는 좌불변 아핀접속 D에 대하여, 다음이 서로 동치임을 증명하였다. (a) D는 Yang-Mills접속이다. (b) w=0이고, g에 대한 Levi-Civita접속은 Yang-Mills접속이다.