Approximate controllability for variational inequalities with nonlinear perturbation

Abstract

이 논문은 힐버트 공간상에서 비선형 항을 포함하는 변수부등식의 근사 제어가능성을 다룬다. 먼저 주어진 부등식을 단가 준선형 방정식으로 변형하여 해의 정칙성을 다룬 후 제어이론을 유도하고자 하였다. 본 논문의 주요 결과는 다음과 같다. 첫째로, H와 V를 힐버트 공간으로 하고 V가 조밀한 공간으로서 그의 공액공간을 V*로 하자. U는 제어집합이다. 그리고 함수 Φ:V→(-∞,∞] 가 하반연속이고 제어기 B:U →H 유계 선형이라 할 때 다음과 같이 유계선형연산자 A:V⊂H →V* 를 포함하는 초기치 문제: (x'(t)+Ax(t), x(t)-z)+∂Φ(x(t))-Φ(z)≤(∫_0^t k(t-s)h(s,x(s),u(s))ds + Bu(t), x(t)-z), a.e, ∀z∈V x(0)=x_0 에서 (x_0, u)∈bar{(D(Φ)} X L²(0, T;U) 로 주어지면 위의 초기치 문제의 해는 유일하게 존재하며, 아울러 x∈L²(0, T;V)∩W^{1,2}(0, T;V*)⊂C([0,T]; H) 임을 증명하였다. 둘째로, x(T;u)를 지간 T에서 제어 u ∈ L²(0, T;U)에 대응하는 자취라고 하면 { x(T;u):u∈L²(0, T;U)}의 집합이 전 공간 H상에서 조밀성을 보여 가제어성을 증명하였다.