Modified Mann iteration methods for strict pseudo-contractive families in Hilbert spaces

Abstract

집합 C가 Hilbert공간 H의 공집합이 아닌 닫힌볼록부분집합이라 할 때, 사상 T:C→C가 κ-순 준-축소사상(strict pseudo-contraction)이라 함은 상수 κ ∈(0,1)가 존재하여 모든 x,y ∈C와 n ≥1에 대하여 다음 부등식을 만족함을 뜻한다. (1)

T^(n) x-T^(n) y

² ≤

x-y

² + κ

(I-T^(n))x-(I-T^(n))y

² 특히, κ=0일 때 사상 T는 비확대(nonexpansive)라 말한다. 또한, 사상 T의 부동점들의 집합을 F(T)={x∈C:Tx=x}로 표기한다. 함수족 J={S_(n):C→C}가 C상의 κ-순 준-축소라 함은 상수 κ ∈(0,1)가 존재하여 모든 x,y ∈C와 n ≥1에 대하여 다음 부등식을 만족함을 말한다. (2)

S_(n) x-S_(n) y

² ≤

x-y

² + κ

(I-S_(n))x-(I-S_(n))y

² 먼저 (2)처럼 정의된 함수족 J={S_(n):C→C}에 대하여 다음과 같은 수정된 Mann반복법을 생각한다. (3) x_(n+1) = α_(n) x_(n) + (1-α_(n))S_(n) x_(n), n ≥1 여기서 x₁: =x∈C는 임의로 선택된 시작점이고, 매개변수들의 수열 {α_(n)}⊂[0,1]이다. 앞으로 함수족 J={S_(n):C→C}의 공통부동점집합을 F=∩_(n=1)^(∞) F(S_(n))로 표기한다. 본 논문에서는 F ≠Ø이고 매개변수 {α_(n)}의 적당한 조건 하에서 (3)처럼 정의된 반복수열 {x_(n)}이 주어진 함수족 J의 어떤 공통부동점에로 강수렴 또는 약수렴을 연구하였다. 더욱 그 응용으로 평형알고리즘(parallel algorithm) 또는 순환알고리즘(cyclic algorithm)에 대한 수렴성을 밝혔다.