Demiclosedness Principle of a Nonlipschitzian Semigroup

Abstract

집합 C를 실 Banach 공간 X의 볼록이고 닫힌 부분집합(closed convex subset)이라 할 때, 함수 T:C→C의 부동점들의 집합을 Fix(T)={x∈c:Tx=x}로 표기한다. 이산인 가산 개의 함수 T_n:C→C,n≥0들의 족 Τ={T_n:n≥0}가 점근적비확대형(asymptotically nonexpansive type)라 함은 0에 수렴하는 수열 {d_n}가 존재하여 ∥T_nx-T_ny∥≤∥x-y∥+d_n, ∀x,y∈C 을 만족하는 것을 말한다. 모든 함수 T_n이 C상에서 연속일 때 집합족 Τ이 C상에서 연속이라 부른다. 덧붙여, Τ가 다음 두 조건을 만족할 때 Τ를 C상의 점근적비확대형반군이라 말한다. (ⅰ) T_0x=x, ∀x∈C; (ⅱ) T_(n+m)x=T_nT_mx, ∀n,m≥0, x∈C. 본 논문의 주 결과는 다음과 같다. 정리. 집합 C는 균등볼록인 Banach 공간 X의 공집합이 아닌 볼록닫힌부분집합이고 함수들의 집합족 Τ={T_n:C→C,n≥0}가 Fix(Τ)≠Ø인 C상의 연속인 점근적비확대형반군이라 하자. 만약 수열 (x_n)⊂C이 x(∈C)로 약수렴하고 limsup_(k→∞)limsup_(n→∞)∥x_n-T_nx_n∥=0 을 만족하면 x는 Τ의 공통부동점이다. 즉, T_n=x, ∀n≥0.