Iterative Algorithms for Relatively Non-Lipschitzian Mappings

Abstract

집합 C를 Banach 공간 X의 공집합이 아닌 닫힌볼록부분집합(closed convex subset)이라 하고, 사상 T:C→C의 부동점들의 집합을 F(T)={x∈C:Tx=x}로 표기한다. 점 p에 약수렴하는 C내에 있는 수열 {x_n}이 ∥x_n-Tx_n∥→0을 만족할 때, 점 p∈^F(T)를 점근적부동점이라 한다. X가 smooth이면 J는 X의 정규쌍대사상으로서 ø(y,x)=∥y∥^2-2+∥x∥^2, x,y∈X 로 정의된 범함수 ø:X×X→ℝ가 잘 정의된다. 우리는 T:C→C가 다음 세 조건 (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)을 만족할 때, 상대점근적비확대형사상(a mapping of relatively asymptotically nonexpansive type)이라 말한다. (ⅰ)F(T)≠∅, (ⅱ)F(T)=^F(T), (ⅲ)각 x∈C에 대하여 ø(p,T^nx)≤ø(p,x)+c_n(x), ∀p∈F(T) 을 만족하는 x에 의존하여 0에 수렴하는 비음의 실수열 {c_n(x)}가 존재한다. 본 논문에서는 X가 균등볼록인 smooth한 Banach공간일 때, 먼저 한 점 x_0∈C로부터 출발하여 다음처럼 반복적으로 정의된 새로운 혼합형 알고리즘(hybrid algorithm) H_n={z∈C:ø(z,T^nx_n)≤ø(z,x_n)+c_n(x_n)}, W_n={z∈C:≥0}, x_(n+1)=∏_(H_n∩W_n)x_0, n≥0 을 생각한 후, T:C→C가 상대점근적비확대형 균등 k-Lipschitzian사상이고 F(T)(≠∅)라는 가정 하에서 위의 혼합형 알고리즘으로 정의된 수열 {x_n}은 항상 F(T)의 점 ∏_(F(T))x_0에 강수렴한다는 것을 밝혔다. 여기서 J는 정규쌍대사상(normalized duality mapping)이고 ∏_F(T)는 X로부터 F(T) 위로의 일반화된 사영(generalized projection)이다.