Development of a Scalable Spherical-Laplacian High-order Filter for the Spectral Element Model on the Cubed Sphere

Abstract

본 논문에서는 육면체구 분광요소 수치모형의 안정성을 증진시키기 위하여 구면 라플라시안 연산자에 기반하는 병렬 고차 묵시적 필터를 개발하였으며, 고차 필터의 특성을 이해하기 위하여 분광요소법으로 이산화된 육면체구 라플라시안 연산자의 특성도 함께 조사하였다. 먼저 육면체구 격자상의 구면 라플라시안 연산자의 고유해를 조사하였다. 가우스-로바토 격자에서 정의되는 가우스-로바토 라그랑지 내삽 다항함수(Gauss-Lobatto Lagrange Interpolating Polynomials, GLLIPs)를 기저로 하는 분광요소법으로 라플라시안 연산자를 이산화 하였다. 전구 영역의 고유해를 구하기 위하여 모든 요소의 경계를 연결하였으며, 완성된 전구 이산 라플라시안 연산자 행렬은 거대 희소행렬의 형태를 보였다. 라플라시안 연산자의 고유값은 구면조화함수처럼 계단형태를 띄었다. 즉, 총 파수 n에 대하여 2n+1개의 동일한 고유해가 있는 것으로 나타났다. 모드가 증가할수록 고유값은 구면조화함수보다 점차 더 큰 값을 보였으며. 그 비는 GLLIP의 차수의 제곱에 비례하는 것으로 나타났다. 구면조화함수와는 달리, 육면체구 분광요소 이산 라플라시안 연산자의 고유벡터는 동서 그리고 남북 방향으로 나눌 수 없는 것으로 나타났다. 육면체구 분광요소 라플라시안 연산자의 총 파수 n에 따른 고유벡터는 2n+1의 구면조화함수로 구성되어 있는 것으로 나타났으나, 더 높은 파수의 고유모드는 2n+1 이상의 구면조화함수로 구성되어 있었다. 높은 파수에 위치한 모드의 일부 고유벡터들은 육면체구의 면 내부보다는 경계에 더 큰 진폭이 존재하였으며, 육면체구 분광요소법을 도입한 수치모델들의 grid-imprinting과 유사하였다. 동일한 고유값을 가진 고유벡터들은 선형적으로 독립적이며, 다른 고유값을 가진 고유벡터들과는 직교하는 것으로 나타났다. 육면체구 분광요소 이산 라플라시안 연산자의 고유해로부터, 육면체구 분광요소 수치모형에서 라플라시안 형태의 고차 점성을 도입할 때 점성 계수에 큰 제한이 있음을 밝혔다. 그러나 이는 상대적으로 더 효과적인 필터를 구현할 수 있다는 것을 의미한다. 육면체구 분광요소 라플라시안 연산자의 특성을 바탕으로, 육면체구 분광요소 수치모형을 위한 등방적이며 규모 선택적인 병렬 고차 묵시적 필터를 개발하였다. 필터 방정식은 육면체구 좌표로 변환된 구면 라플라시안 연산자에 기반한 고차 타원(헬름홀츠) 방정식이다. 라플라시안 연산자는 직교 기저함수로서 GLLIPs를 도입하는 분광요소법에 의해 각 요소에서 이산화 된다. 전구에 대하여 연결된 이산 필터 행렬은 희소행렬의 형태를 보이며, 그 밀도는 GLLIP의 차수에 따라 2차함수적으로, 필터의 차수에 따라 선형적으로 증가하였다. 선형계를 계산하기 위해 총 O(Ng) 만큼의 연산이 필요하며, 여기서 Ng는 총 격자점의 수를 의미한다. Row reduction method로 구한 해는 육면체구 분광요소법의 일반적인 정확도와 수렴률을 보이는 것으로 나타났다. 병렬 컴퓨터에서의 계산효율을 높이기 위하여, 역행렬을 미리 계산해두고 역행렬-벡터간의 곱을 수행하는 방법인inverse matrix method(희소행렬-벡터 곱)를 선형계에 도입하였다. 역행렬에서 충분히 작은 행렬요소들은 제거하면 마찬가지로 희소행렬이 되며, 그 밀도는 역산 이전의 행렬과 비교하여 정확도의 감소 없이 몇 배 정도만 높은 수준인 것으로 나타났다. 계산 효율성을 더 개선하기 위하여, 지역영역 묵시적 고차 필터도 개발하였다. 필터 방정식을 다중 요소에 적용하고 중심에 위치한 목표 요소(target cell)만 필터링이 수행되도록 하여, 필터 정확도의 감소는 최저로 함과 동시에 거대 전구 희소 행렬의 역산 및 행렬-벡터 곱에 따른 시간을 획기적으로 줄일 수 있었다. 전구 및 지역영역 필터의 병렬 확장성은 일반적인 육면체구 분광요소법과 마찬가지로 거의 이상적으로 나타났다. 이 필터의 성능을 시험하기 위하여, 관측된 지형 자료의 필터링에 적용하였으며, 또한 천해파 방정식 모델에 적용하여 점성처리를 위한 필터로서의 유용성을 시험하였다. 고차 묵시적 필터의 유용성을 추가적으로 조사하기 위하여, 육면체구 분광요소 3차원 정역학 코어에 수치잡음 제거를 위한 목적으로 고차 필터를 이식하였다. 정역학 코어는 연직좌표계로서 하이브리드 좌표계를, 시간 차분법으로서 3차의 Runge-Kutta 기법을 각각 도입하였다. 정역학 코어의 병렬화는 각 요소의 경계에서만 정보의 공유가 이루어지는 것을 제외하고 고차 필터와 거의 유사하게 이루어졌다. 고차 필터가 이식된 정역학 코어의 병렬확장성은 다른 연구에서의 육면체구 분광요소 정역학 코어에서처럼 거의 이상적인 것으로 나타났다. 고차 필터는 RK3 시간 스텝 후 지표 기압장을 제외한 바람장, 온도장에 적용되었다. 고차 필터의 성능을 Dynamical Core Model Intercomparison Project(DCMIP)에서 제공하는 다양한 역학 코어 실험을 통해 평가하였다. 전구 및 지역 고차 묵시적 필터는 명시적 점성처리보다 수치잡음을 효율적으로 제거하며, 더 큰 시간간격을 설정할 수 있는 것으로 나타났다. 특히, 지역영역 고차 필터는 전구 고차 필터의 성능을 그대로 유지하면서, 전구 고차 필터 대비 역학코어의 전체 계산 시간을 약 1.5배 감소시킬 수 있었다. 또한 명시적 점성처리 대비 약 1.6배 정도 더 많은 계산시간이 소요되었으나, 이는 더 큰 시간간격이나 더 높은 필터 차수의 설정으로 충분히 만회할 수 있는 수준인 것으로 판단된다.