저차원 다양체와 Jacobi장에 관한 기하학적 성질

Abstract

본 논문에서는 3차원 유클리드공간에서 곡면이 될 충분조건을 구하고 곡면위의 점에서 주곡률을 계산하는 방법과, 리만다양체상에서 측지선을 따르는 Jacobi장에 관한 여러 성질들을 조사하였으며, 또한, Abbena-Thurston 다양체상의 곡률들에 대해 연구하였으며, 주요 내용은 다음과 같다. 제3장에서는 3차원 유클리드공간에 정의된 미분가능 함수 와 상수 에 대하여, 로 주어진 이 곡면일 충분조건을 보이고, 을 표현하는 방법에 따라 그 역이 성립하지 않는 예들을 제시하였다. 그리고 고유조각사상 의 제1,2기본형식을 이용하여 곡면상의 각 점에서 주곡률을 구하는 필요충분조건을 조사하였다. 제4장에서는 리만다양체상의 측지선을 따르는 벡터장이 Jacobi장이 될 필요충분조건을 설명하고, 무한소아핀변환은 모든 측지선을 따른는 Jacobi장임을 보였다. 또한, 측지선을 따르는 Jacobi장이 될 필요충분조건을 이용하여 국소대칭 리만다양체에 관한 여러 성질들에 대해서도 연구하였다. 제5장에서는 Heisenberg군 와 단위원 의 곱인 에 대하여, 정수를 성분으로 갖는 의 이산부분군 에 의한 등질공간 로 정의되는 Abbena-Thurston다양체가 임의로 주어진 -불변 리만계량을 갖는 리만다양체상에서 스칼라곡률과 Ricci곡률을 측정하였다.