Defining Equations of Rational Curves on a Rational Normal Surface Scroll S(1, 1)

Abstract

사영공간에 매립된 사영다영체를 정의하는 결정방정식에 관한 연구는 사영대수기하학의 매우 중요하고 어려운 문제 중의 하나이다. 이 논문에서는 3차원 사영공간에 차수가 d인 Veronese 동형사상으로부터 유도된 매개변수들로 정의되는 유리곡선들의 결정방정식을 연구하였다.

먼저 유리곡선 들이 정규 유리곡면위에 여차원이 인 부분다양체가 됨을 보였고 이러한 기하적인 사실과 컴퓨터 대수 계산 프로그램(Computer Algebra System, CAS)인 ‘SINGULAR’를 이용하여 유리곡선 들의 결정방정식들을 완벽하게 묘사하였다. 유리곡선 를 정의하는 동차 아이디얼 는 2차 동차 방정식 와 d-1개의 차수가 d인 동차 방정식 최소 생성원으로 생성됨을 보였다. 제1장에서는 가환환, 아이디얼의 연산과 관련된 여러 가지 대수학의 기본 개념들을 정리하였다. 제2장에서는 대수기하학의 기본적인 개념과 본 연구에 필요한 중요한 정리들을 조사하였다. 제3장에서는 ‘SINGULAR’ 프로그램을 통하여 유리곡선들의 차수가 5,6,7,8,9,10 일 때 유리곡선들의 결정방정식들의 모양을 계산하였고 이러한 예제들을 기반으로 일반적인 경우에 대하여 유리곡선들의 최소 결정방정식을 완벽하게 묘사하였다.