Defining Equations of Rational Curves on a Rational Normal Surface Scroll S(1,2)

Abstract

이 논문에서는 정규 유리곡면 위에 매립된 유리곡선들의 결정방정식에 관하여 연구하였다. 먼저 아핀다양체, 사영다양체, 정규 유리곡면, 정규 유리곡선 등 다항식들의 공통근으로 정의되는 대수적 집합의 성질을 살펴보고, 뇌터환의 원소를 계수로 가지는 다항식 환에서 힐베르트 기저정리가 성립함을 조사하였다. 또한 기약 대수적 집합과 유한개의 생성원을 가지는 가군, 체의 확대, 인테그랄 원소의 성질을 통하여 힐베르트 영점정리를 살펴보았고, 대수기하학의 기반이 되는 아이디얼들의 합과 곱, 교집합, 동차다항식이 가지는 성질, 다항식으로 이루어지는 사상 등 여러 가지 대수학의 기본 개념을 연구하였다. 정규 유리곡면 위에 매립된 유리곡선의 생성원을 구하기 위하여 ‘SINGULAR’프로그램을 이용하여 유리곡선들의 차수가 일 때 각 차수에 대응하는 아이디얼의 생성원들을 계산하였다. 다음으로, 계산된 생성원들이 가지는 패턴을 이용하여 유리곡선의 일반적인 차수에 대하여 유리곡선을 정의하는 생성원들의 모양을 묘사하였고 실제 아이디얼을 생성함을 증명하였다. 80년대에 독일에서 처음 만들어진 컴퓨터 대수 계산 프로그램인 ‘SINGULAR’는 Gröbner Basis이론을 바탕으로 컴퓨터의 빠른 발달과 함께 대수기하학에서 정의되는 여러 가지 불변량들을 계산해준다.