Functional analsys of semilinear control systems

Abstract

이 논문에서는 함수해석이론을 이용하여 비선형 항이 포함된 함수미분방정식: d/dx x(t)=Ax(t)+g(t,x(t),∫_0^t k(t,s,x(s)))+(Bu)(t), 0＜t, x(0)=x_0 형태의 미분 제어 방정식에 대한 제어 가능 문제를 전사이론에 기초하여 연구하였다. 여기에서 A는 미분연산자로서 G˚arding의 부등식을 충족하는 sesquilinear 형태에서 유도되는 작용소로서 해석적 반군을 생성하며, 비선형 작용소 g는 Lipschtz 연속성을 만족한다. 그리고, B는 제어기이며 u는 제어로서 허용 가능한 집합에 속하고 있다. 본 논문의 연구 목적은 기존의 선형계의 가제어 이론에 대하여 위에 주어진 준선형 편미분 제어시스템계로 확장할 수 있는 충분조건을 유도하는 데 있다. 이를 위해 비선형 함수해석이론인 Fredholm alternative의 전사이론을 적용하기 위해 다음과 같은 주 결과를 얻을 수 있었다. [주정리] 제어기 B가 양수 β, γ에 대하여 β

u

≤

Bu

≤γ

u

를 만족하는 homeomorphism이고, embedding D(A)⊂V가 완전연속성을 만족하며, 해가 x_u(t)=∫_0^t S(t-s)｛G(s,x_u(s))+Bu(s)｝ds로 표현될 때 비선형함수 G(t,x)=g(t,x(t),∫_0^t k(t,s,x(s)))에 대하여 F(u)=-G(·,x_u)라 두면 lim_

u

_X→∞

Ru

_Y ∈R^+, t^bF_0(u)=F_0(tu)을 만족하는 비선형 작용소 R과 F_0가 존재하여 F(u)=R(u)F_0(u)이라할 때, b＞1이라면 가제어 가능성의 결과를 유도할 수 있었다.