Controllability and regularity for semilinear retarded evolution equations

Abstract

본 논문의 목적은 편미분방정식 중 시간에 의존하는 발전방정식에서 주 작용소가 해석적 반군을 생성하고 과거의 메모리와 데이터를 포함한 지연 함수미분방정식을 수학적으로 해석하고 그 응용으로서 제어이론을 유도하는 데 있다. 이러한 모델은 공학, 경제학, 자연과학에서 현재의 현상이 과거 상태의 파생물 등 과거 정보를 포함하는 유전 시스템에 대하여 비선형계에 대한 독창적인 해석과 정칙성과 가제어성에 대한 이론을 체계적으로 정립하였다. 방정식의 형태와 가제어성의 충분조건을 유도하는 과정은 다음과 같다. 제2장에서는 비연속점을 포함한 준선형 충동적 함수에 대하여 비선형항의 일반적인 립시츠조건으로 해의 정칙성을 유도하였고, 제3장에서는 2계 준선형 충동미분방장식의 주작용소가 cosine족을 생성할 경우 해의 정칙성을 유도하기 위해 기본적인 성질을 규명하고 비선형 항의 조건을 제시하였다. 제4장에서는 p-Laplacian을 포함하는 추상적인 포물선방정식에 대한 해의 규칙성을 찾는다. 포함된 작용소들이 타원형 미분연산자에 의해 생성되는 것으로 해석적 반군을 생성함을 증명하였다. 함수공간에서의 보간이론을 정립하고, -볼록 공간의 성질을 이용하여 작용소의 정의구역과 sovolev공간과의 보간 공간을 해석적 반군에 의한 수식으로 표현하여 해의 존재 가능한 최대영역과 정칙성을 정립하였다. 위의 결과를 바탕으로 해석적 반군의 작용소의 고유치에 대한 일반적인 고유공간들의 특성을 이용하여 공학적으로 중요한 응용으로서 동일성 문제에 대해 충분조건으로 유한 차원의 rank condition을 유도하였다. 제5장에서는 Hilbert 공간에서 준선형 적분-미분 제어방정식에 대한 해의 성질을 체계적으로 수식화하여 일반적인 비선형계의 이론인 Degree이론을 이용하여 가제어성의 충분조건을 유도하였다. 제6장에서는 이 논문의 핵심적인 부분으로 비선형 항의 유계성과 homogeneous(동형) 성질을 만족하는 경우 기존의 증명방식을 사용하지 않고 새로운 증명 방법을 사용하여 가제어성을 유도하였고 다른 여러 비선형계에 대한 응용할 수 있는 모티브를 제공하였다.