On Differentiability for the Norms of Banach Spaces

Abstract

X를 바나흐(Banach) 공간이라 하고 X*를 쌍대공간(dual space)이고, S(X)는 X의 단위구(the unit sphere) 즉, S(X)=x∈: ∥x∥=1 라 하자. 다음 극한 lim_λ→0 (∥x_0+λ_y∥-∥x_0∥)/λ= 가 모든 y∈S(X)에 대하여 균등하게 존재할 때 X의 노름(norm)이 점 에서 Fréchet 미분가능(differentiable)이라고 말한다. 공간 X가 Fréchet 미분가능이라는 것은 모든 점 에서 X의 노름이 Fréchet 미분가능일 경우를 말한다. 또한, 수열{x_n}⊂X 가 x_n⇀x∈X, ∥x_n∥→ ∥x∥⇒x_n→ x 라는 성질을 만족할 때 X가 Kadec-Klee 성질을 갖는다고 말한다.

본 논문에서는 아래와 같이 바나흐공간 X가 Fréchet 미분가능일 어떤 동치조건(정리 A)와 균등 Gâteaux 미분가능성이 될 동치조건(정리 B)을 밝혔다.

정리 A. X가 회귀(reflexive)인 바나흐 공간일 때, X가 Fréchet 미분가능일 필요충분조건은 X* 가 협의블록(strictly convex)이고 Kadec-Klee 성질을 만족한다.

정리 B. X가 균등 Gâteaux 미분가능일 필요충분조건은 S(X)에서 S(X*)로 대응되는 받침 사상(support mapping) 가 S(X)상에서 norm to weak* 균등연속이다.