Augmented Formulation for Bayesian Full Waveform Inversion in Layered Half-Spaces and Its Application to Markov Chain Monte Carlo Simulations

Abstract

Full Waveform Inversion (FWI) is a key method in geophysics to estimate subsurface properties, particularly the elastic properties of the Earth, from seismic data. Over the past few decades, numerous advancements have been made in FWI methodologies, significantly improving its ability to model and interpret complex geological structures. Despite these advancements, FWI faces significant challenges due to the inherently ill-posed nature of inverse problems. This ill-posedness means that multiple subsurface models can produce the responses that satisfy the observations. To address these challenges, probabilistic approaches have been increasingly employed to quantify the uncertainties associated with FWI. Probabilistic FWI approaches are developed following the Bayesian method, in which the misfits between simulated responses of the layered half-spaces and the observations are minimized using the prior information. Due to the advantage of discretizing layered media based on the excited frequencies, solving FWI in the frequency domain can be more favorable compared to the time domain. For this purpose and to address the applicability of solving FWI of various types of layered half-spaces in the frequency domain, the following methods are proposed in this thesis. In Chapter 2, an approach for frequency domain FWI utilizing an augmented formulation is developed, which is based on the principles of the Gauss-Newton method. In the conventional frequency domain FWI using the Gauss-Newton method, the linearization of the forward problem is required to obtain the gradient vector and Hessian matrix. The limitation of the conventional approach is the process of obtaining the inverse of the Hessian matrix, in which the computational cost is proportional to the number of material properties to be estimated. By extending the observations to include its conjugate values, a more efficient augmented FWI can be formulated. It has been assumed in the previous FWI studies that the posterior covariance of estimated parameters is assumed as the inverse of Hessian matrix. The augmented formulation indicates, however, that the posterior covariance can not be approximated as the inverse matrix and presents an rigorous expression for the covariance. The accuracy of the proposed method is demonstrated by investigating the FWI of layered half-spaces. The soil profiles are represented by homogeneous and heterogeneous models to describe the wide range of realistic soil sites. The method is applied to solve from the simplified to the complex soil profiles. The accuracy and efficiency of FWI using the proposed method are confirmed. This confirmation provides promising insights into applications of augmented FWI for further studies of large-scale FWI. In Chapter 2, normal probability distributions are assumed for estimated parameters and satisfactory inversion can be obtained by the proposed approach. It must be verified even for FWI in which normal probability distributions cannot be assumed for estimated parameters. In Chapter 3, a gradient-based Markov chain Monte Carlo (GMCMC) simulation will be considered to sample the actual posterior probability distribution of the FWI. The method uses the developed augmented FWI formulation in Chapter 4 to derive the proposal distribution of the sample to be drawn. By incorporating the information of the theoretical posterior mean and posterior covariance, an efficient sampling approach can be established. The actual posterior probability distributions of various frequency domain FWI problems are obtained using the GMCMC approach. The accuracy and efficiency of the GMCMC method are validated by comparing its results with those obtained from other approaches. By comparing the GMCMC method with the solution in Chapter 2, its superior performance in minimizing the objective function is confirmed. Additionally, by comparing it with the traditional MCMC method, the GMCMC method demonstrates greater efficiency in the sampling process. Finally, Chapter 4 provides some conclusion remarks and discusses possible future studies based on this thesis.|완전파형역산(full waveform inversion)은 지구물리학에서 지하 물성치를 추정하기 위한 핵심적인 방법으로, 특히 지진 데이터를 기반으로 지구의 탄성 물성치를 추정하는 데 사용된다. 지난 수십 년 동안 완전파형역산 방법론에서 많은 발전이 이루어져 복잡한 지질 구조를 모델링하고 해석하는 능력이 크게 향상되었다. 그러나 역해석 문제의 본질적인 불량 특성(ill-posed nature)으로 인해 완전파형역산은 여전히 상당한 도전에 직면하고 있다. 이 불량 특성은 다수의 지하 모델이 관측치를 만족시키는 동일한 응답을 생성할 수 있음을 의미한다. 이러한 문제를 해결하기 위해 완전파형역산과 관련된 불확실성을 정량화하기 위한 확률론적 접근법이 점점 더 많이 활용되고 있다. 확률론적 완전파형역산 접근법은 베이지안 방법을 따르며, 층상 반무한체의 추정 응답과 관측치 간의 불일치를 사전 정보(prior information)를 사용하여 최소화하는 방식으로 개발된다. 층상 매질을 가진 진동수에 근거하여 이산화하는 장점 때문에, 시간 영역보다 진동수 영역에서 완전파형역산의 해를 구하는 것이 더욱 선호되기도 한다. 이를 위해 본 논문에서는 진동수 영역에서 다양한 유형의 층상 반무한체에서 완전파형역산의 해를 얻는 방법론을 제안한다. 2 장에서는 Gauss-Newton 방법의 원리를 기반으로 증강 정식화(augmented formulation)를 활용한 진동수 영역 완전파형역산 접근법을 개발한다. 기존의 Gauss- Newton 방법을 활용한 진동수 영역 완전파형역산에서는 기울기 벡터(gradient vector)와 헤시안 행렬(Hessian matrix)을 얻기 위해 정해석 문제(forward problem)의 선형화가 필요하다. 기존 접근법의 한계는 헤시안 행렬의 역행렬을 얻는 과정에 있는데, 그 계산량이 추정해야 할 물성치의 수에 비례한다. 관측치에 켤레값(conjugate value)을 포함하도록 확장함으로써 보다 효율적인 증강 완전파형역산을 정식화할 수 있다. 기존 완전파형역산 연구에서는 추정 물성치의 사후 공분산을 헤시안 행렬의 역행렬로 가정하여 왔다. 하지만, 증강 정식화는 그 역행렬로 사후 공분산을 근사할 수 없음을 보이고 그에 대한 엄밀한 표현을 제공한다. 층상 반무한체의 완전파형역산 문제를 통해 제안된 방법의 정확성을 입증한다. 다양한 현실적인 지반 조건을 설명하기 위해 지반 프로파일을 균질 및 비균질 모델로 나타내어, 단순한 지반 프로파일에서 복잡한 프로파일의 문제까지 해결하는 데 제안한 방법을 적용한다. 제안된 방법을 활용한 완전파형역산의 정확성과 효율성을 확인한다. 이를 통해 대규모 완전파형역산에 대한 후속 연구에 대해 유망한 가능성을 확인할 수 있다. 2장에서는 추정 물성치에 대해 정규 확률 분포를 가정하고, 제안한 접근법으로 만족스러운 역산 결과를 얻을 수 있었다. 하지만, 정규 확률 분포로 가정할 수 없는 경우에 대해서도 제안한 방법의 적용 가능성을 검증해야 한다. 3 장에서는 완전파형역산의 실제 사후 확률 분포(posterior probability distribution)를 추출하기 위해 기울기 기반 마르코프 체인 몬테카를로(gradient-based Markov chain Monte Carlo, GMCMC) 모사를 고려한다. 이 방법은 2장에서 개발된 증강 완전파형역산 정식화를 활용하여 표본에 대한 제안 분포를 도출한다. 이론적 사후 평균과 사후 공분산 정보를 통합하여 효율적인 표본 추출법을 구축할 수 있다. GMCMC 접근법을 통해 다양한 진동수 영역 완전파형역산 문제의 실제 사후 확률 분포가 얻어집니다. 다른 접근법으로부터 얻어진 결과와 비교함으로써 GMCMC 방법의 정확성과 효율성을 검증한다. 2 장의 해와 비교했을 때, GMCMC 방법이 목적 함수 최소화에서 우수한 성능을 보임이 확인된다. 또한 전통적인 MCMC 방법과 비교했을 때 GMCMC 방법이 표본 추출 과정에서 더 높은 효율성을 보여준다. 마지막으로, 4장에서는 본 논문의 결론과 함께 향후 연구 가능성을 논의한다.