등장사상의 군 구조에 대한 행렬적 접근

Abstract

A Matrix-Theoretic Approach to the Group Structure of isometries- Focusing on Euclidean and Non Euclidean Geometric Models Lee suengwoo Department of Educational Consulting, The Graduate School, Pukyong National University Advisor: Woo Changhwa Abstract This thesis investigates the group structures of isometries—namely reflections, rotations, and translations—within both Euclidean and various non-Euclidean geometric spaces, including the sphere, projective plane, Minkowski space, and hyperbolic plane. The study applies a matrix-theoretic approach to analyze whether these isometries form mathematical groups under specific conditions. Each isometry is expressed in matrix form, and its algebraic structure is examined to determine whether the group axioms—closure, associativity, identity, and invertibility—are satisfied. Keywords: Isometries, Group theory, Matrix representation, Euclidean space, Non-Euclidean geometry, Minkowski space, Hyperbolic plane, Distancepreserving transformations|등장사상의 군 구조에 대한 행렬적 접근- 유클리드 및 비유클리드 기하모델을 중심으로 이 승 우 국립부경대학교대학원 응용수학과 요 약 본 논문은 유클리드 공간과 다양한 비유클리드 공간(구면, 사영평면, 민코 프스키 공간, 쌍곡평면) 위에서 정의되는 등장사상(반사, 회전, 이동 등)의 수학적 구조를 군론(Group theory)의 관점에서 탐구하고, 이들 사상이 특정 조건하에 군을 이루는지를 행렬적 방법을 통해 정량적으로 분석하였다. 각 공간에 존재하는 등거리 사상들을 행렬로 표현하고, 그 행렬들의 연산 구조가 군의 공리(폐쇄성, 결합법칙, 항등원, 역원)를 만족하는지를 공간별로 개별적으로 검토하였다. 이를 통해 각 등장사상들이 유한군 혹은 무한군을 형성하는지를 기술하며, 대칭군, 회전군, 이동군 등으로의 분류를 시도하였 다. 주요어: 등장사상, 군론, 행렬 표현, 유클리드 공간, 비유클리드 기하, 민코 프스키 공간, 쌍곡평면, 등거리 사상